放物線を描くための式

いや y=a*x**2 じゃないよなぁ…。
弾道とかを考えているのかな、と思ったので、やってみる。
鉛直上向きにy軸,水平方向にx軸とし、質点の質量をm、粘性係数をk、重力加速度をgとし、t=0の位置をx0,y0, 速度を(vx0,vy0)とします。
水平方向について、運動方程式は

m*x''=-k*x'
(x'',x'はそれぞれ時間に関する二階微分と一階微分)

これをラプラス変換してみると

m*(s**2*X-s*x0-vx0)=-k*(s*X-x0)

代数方程式としてXについて解くと (このあたりで間違い発見)

X = ( s*x0 + vx0 + x0*k/m ) / ( s*(s+k/m) )
  = (vx0*(m/k)+x0)/s + (-vx0*(m/k))/(s+m/k)

逆変換すると、

x(t) = vx0*(m/k)+x0 - vx0*(m/k)*exp(-(m/k)*t)

鉛直方向については、重力加速度がついているので、

m*y''=-m*g-k*y'

と若干難しくなります。
v(t)=y' と速度に関する方程式と考えると、もうちょっと見やすくなります。

m*v'=-m*g-k*v

で、同じくラプラス変換すると、

m*(s*V-vy0)=-m*g/s-k*V

Vについて解くと

V = ( vy0-g/s ) / ( s*(s+k/m) )
  = (-g*m/k)/s + (vy0+g*m/k)/(s+k/m)

逆変換したら(こっそりvをvyにもどす)

vy = -g*m/k + (vy0+g*m/k)*exp(-(k/m)*t)

積分すると

y = -g*m/k*t - (m/k)*(vy0+g*m/k)*exp(-(k/m)*t) + C

y|t=0 = y0 より

y0 = -(m/k)*(vy0+g*m/k) + C
C = y0+(m/k)*(vy0+g*m/k)

y = -g*m/k*t - (m/k)*(vy0+g*m/k)*exp(-(k/m)*t) + y0 + (m/k)*(vy0+g*m/k)