gdaladdoは自動でBIGTIFFにしてくれない

そのままその通り。
gdaladdoは、ファイル内にオーバビューを追加するものです。ファイル内をいじるのが今回のポイント。
gdal_translate で tiff とすると、4Gを超えない場合には、そのままでは BIGTIFF になりません。
強制的にBIGTIFFにするには -co "BIGTIFF=YES" をつけてやる必要があります。
オーバビューなしなら4Gでオーバビューを付けると4Gを超える場合には、translateの際に前もって -co "BIGTIFF" を付けてtranslateしないと、gdaladdo の時点でエラーが発生します。